PROGRAMME SMGA 16-17 octobre 2019 <br>

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Mercredi 16/10<br>

<br>14h30-15h20: Emanuele Macri (Orsay)<br>

<br>Titre: Hypersurfaces cubiques de dimension quatre et une question de Hassett<br>

<br>Résumé : 
Après des articles influents de Harris, Hassett et Kuznetsov, on 
s'attend que l'hypersurface cubique complexe de dimensions quatre très 
générale soit non-rationnelle et que les cubiques rationnelles forment 
une union dénombrable de diviseurs «spéciaux» dans l’espace de modules 
des cubiques. 

Ces diviseurs spéciaux sont décrits par la théorie de Hodge. Une 
question de Hassett demande s'il est possible de caractériser ces 
diviseurs géométriquement : une cubique est dans un de ces diviseurs 
si et seulement si elle contient une surface «spéciale». 

Dans cette exposé, je présenterai une réponse conjecturale à la 
question de Hassett en utilisant espaces de modules de complexes et 
catégories dérivés. Cette conjecture est vérifiée pour un 
sous-ensemble dénombrable de diviseurs. Enfin, je discuterai les liens 
avec la rationalité. 

C'est un travail en cours avec Arend Bayer et Alex Perry. 
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<br>15h30-16h20: Antoine Etesse (Marseille)<br>

<br>Titre : Amplitude des fibrés vectoriels.<br>

<br>Résumé : On commence par rappeler la définition d'amplitude des fibrés 
vectoriels, qui généralise la notion plus classique d'amplitude des fibrés en droite. 
Pour une variété complexe M, l'amplitude d'une puissance extérieure de son 
fibré cotangent (par exemple la puissance maximale est le fibré canonique) est 
une forte propriété qui implique des résultats en hyperbolicité (par exemple la
mesure-hyperbolicité), dont nous discuterons. Nous continuerons avec des 
exemples ``génériques`` de variétés qui satisfont de telles propriétés d'amplitude.
Par exemple, une intersection complète générique dans P^N a son fibré cotangent 
ample dès que sa codimension c satisfait c\geq\frac{N}{2} (démontré en 2017
indépendamment par Xie et Brotbek--Darondeau). Nous discutons alors des 
résultats similaires dans le cas 
des puissances extérieures du fibré cotangent d'intersections complètes dans P^N.
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<br> 16h50-17h40 : Thomas Dedieu (Toulouse)<br>

<br> Titre: 
Extensions des courbes canoniques et applications gaussiennes<br>

<br>Résumé : 
  Étant donné une variété X dans un espace projectif P^n, on se
  demande s'il existe des extensions de X, c'est-à-dire des variétés Y
  dans P^{n+k} n'étant pas des cônes et ayant X comme section
  linéaire.

  Dans le cas où X est une courbe C de genre g canoniquement plongée
  dans P^{g-1}, les éventuelles extensions lisses de dimensions 2 et 3
  sont respectivement des surfaces K3 et des variétés de Fano. Un
  résultat récent dû à Arbarello--Bruno--Sernesi, résolvant une
  conjecture de Wahl, affirme essentiellement que C s'étend à une
  surface si et seulement si une certaine application en cohomologie,
  dite gaussienne, est non-surjective.

  Dans cet exposé j'expliquerai comment ce résultat s'étend à
  l'extensibilité de C à des variétés de dimension supérieure. Je
  donnerai quelques applications, en particulier une condition
  nécessaire et suffisante pour l'extensibilité des surfaces K3. Il
  s'agit d'un travail en commun avec C. Ciliberto et E. Sernesi.
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<br> Jeudi 17/10 <br>

<br>9h-9h50 : Stéphane Lamy  (Toulouse)<br>

<br>Titre : Morphismes signatures sur le groupe de Cremona défini sur Q<br>

<br>Resumé : (collaboration avec S. Zimmermann) Le groupe de Cremona est 
le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Lorsqu'on travaille
sur un corps parfait comme un corps de nombre ou un corps fini, la structure de ce 
groupe est encore plus riche que dans le cas algébriquement clos. En particulier, 
contraste avec le cas classique du corps C, je décrirai comment obtenir de
nombreux morphismes depuis ce groupe vers Z/2. Je donnerai une idée des 
ingrédients de la preuve, qui repose
sur une description combinatoire des relations dans le programme de Sarkisov.
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<br>10h20-11h10 : Jérémy Toulisse  (Nice) <br>

<br> Titre: Géométrie des représentations maximales en rang 2<br>

<br>Resumé : La notion de représentation maximale du groupe fondamental 
d’une surface dans un groupe de Lie hermitien généralise naturellement la notion 
de représentation fuchsienne dans  PSL(2,R). Dans cet exposé, j’expliquerai
comment construire une unique surface maximale dans l’espace 
pseudo-hyperbolique qui est préservée par l’action d’une représentation 
maximale dans un groupe de Lie de rang 2. En interprétant ce résultat en 
termes de la théorie des fibrés de Higgs, nous construisons une structure 
complexe naturelle sur l'espace des représentations maximales. Il s'agit 
d'un travail en commun avec B. Collier et N. Tholozan.<br>


<br>11h20-12h10 : Alan Thompson (Loughborough)<br>

<br>Titre : Compactifications of the moduli space of K3 surfaces of degree 2<br>

<br>Resumé : I will explain how to construct two different
compactifications of the moduli space of K3 surfaces of degree two. The
first uses techniques from the minimal model program. It is modular,
meaning that its boundary points provide moduli for degenerate K3's, but
its construction is implicit, so there is no geometric description of
its boundary. The second is constructed explicitly, as a blow-up of an
explicit compactification of the period domain (quotiented by an
appropriate symmetry group). It has the opposite problems: it has a nice
geometric description, but its boundary has no modular interpretation. I
will then present a recent joint result, with V. Alexeev and P. Engel,
which gives a morphism from the second compactification to the first, in
effect solving the problems with both. If there is sufficient time
remaining I will also sketch the proof of this result.