PROGRAMME SMGA 16-17 octobre 2019


Mercredi 16/10

14h30-15h20: Emanuele Macri (Orsay)

Titre: Hypersurfaces cubiques de dimension quatre et une question de Hassett

Résumé : Après des articles influents de Harris, Hassett et Kuznetsov, on s'attend que l'hypersurface cubique complexe de dimensions quatre très générale soit non-rationnelle et que les cubiques rationnelles forment une union dénombrable de diviseurs «spéciaux» dans l’espace de modules des cubiques. Ces diviseurs spéciaux sont décrits par la théorie de Hodge. Une question de Hassett demande s'il est possible de caractériser ces diviseurs géométriquement : une cubique est dans un de ces diviseurs si et seulement si elle contient une surface «spéciale». Dans cette exposé, je présenterai une réponse conjecturale à la question de Hassett en utilisant espaces de modules de complexes et catégories dérivés. Cette conjecture est vérifiée pour un sous-ensemble dénombrable de diviseurs. Enfin, je discuterai les liens avec la rationalité. C'est un travail en cours avec Arend Bayer et Alex Perry.

15h30-16h20: Antoine Etesse (Marseille)

Titre : Amplitude des fibrés vectoriels.

Résumé : On commence par rappeler la définition d'amplitude des fibrés vectoriels, qui généralise la notion plus classique d'amplitude des fibrés en droite. Pour une variété complexe M, l'amplitude d'une puissance extérieure de son fibré cotangent (par exemple la puissance maximale est le fibré canonique) est une forte propriété qui implique des résultats en hyperbolicité (par exemple la mesure-hyperbolicité), dont nous discuterons. Nous continuerons avec des exemples ``génériques`` de variétés qui satisfont de telles propriétés d'amplitude. Par exemple, une intersection complète générique dans P^N a son fibré cotangent ample dès que sa codimension c satisfait c\geq\frac{N}{2} (démontré en 2017 indépendamment par Xie et Brotbek--Darondeau). Nous discutons alors des résultats similaires dans le cas des puissances extérieures du fibré cotangent d'intersections complètes dans P^N.

16h50-17h40 : Thomas Dedieu (Toulouse)

Titre: Extensions des courbes canoniques et applications gaussiennes

Résumé : Étant donné une variété X dans un espace projectif P^n, on se demande s'il existe des extensions de X, c'est-à-dire des variétés Y dans P^{n+k} n'étant pas des cônes et ayant X comme section linéaire. Dans le cas où X est une courbe C de genre g canoniquement plongée dans P^{g-1}, les éventuelles extensions lisses de dimensions 2 et 3 sont respectivement des surfaces K3 et des variétés de Fano. Un résultat récent dû à Arbarello--Bruno--Sernesi, résolvant une conjecture de Wahl, affirme essentiellement que C s'étend à une surface si et seulement si une certaine application en cohomologie, dite gaussienne, est non-surjective. Dans cet exposé j'expliquerai comment ce résultat s'étend à l'extensibilité de C à des variétés de dimension supérieure. Je donnerai quelques applications, en particulier une condition nécessaire et suffisante pour l'extensibilité des surfaces K3. Il s'agit d'un travail en commun avec C. Ciliberto et E. Sernesi.


Jeudi 17/10

9h-9h50 : Stéphane Lamy (Toulouse)

Titre : Morphismes signatures sur le groupe de Cremona défini sur Q

Resumé : (collaboration avec S. Zimmermann) Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Lorsqu'on travaille sur un corps parfait comme un corps de nombre ou un corps fini, la structure de ce groupe est encore plus riche que dans le cas algébriquement clos. En particulier, contraste avec le cas classique du corps C, je décrirai comment obtenir de nombreux morphismes depuis ce groupe vers Z/2. Je donnerai une idée des ingrédients de la preuve, qui repose sur une description combinatoire des relations dans le programme de Sarkisov.

10h20-11h10 : Jérémy Toulisse (Nice)

Titre: Géométrie des représentations maximales en rang 2

Resumé : La notion de représentation maximale du groupe fondamental d’une surface dans un groupe de Lie hermitien généralise naturellement la notion de représentation fuchsienne dans PSL(2,R). Dans cet exposé, j’expliquerai comment construire une unique surface maximale dans l’espace pseudo-hyperbolique qui est préservée par l’action d’une représentation maximale dans un groupe de Lie de rang 2. En interprétant ce résultat en termes de la théorie des fibrés de Higgs, nous construisons une structure complexe naturelle sur l'espace des représentations maximales. Il s'agit d'un travail en commun avec B. Collier et N. Tholozan.

11h20-12h10 : Alan Thompson (Loughborough)

Titre : Compactifications of the moduli space of K3 surfaces of degree 2

Resumé : I will explain how to construct two different compactifications of the moduli space of K3 surfaces of degree two. The first uses techniques from the minimal model program. It is modular, meaning that its boundary points provide moduli for degenerate K3's, but its construction is implicit, so there is no geometric description of its boundary. The second is constructed explicitly, as a blow-up of an explicit compactification of the period domain (quotiented by an appropriate symmetry group). It has the opposite problems: it has a nice geometric description, but its boundary has no modular interpretation. I will then present a recent joint result, with V. Alexeev and P. Engel, which gives a morphism from the second compactification to the first, in effect solving the problems with both. If there is sufficient time remaining I will also sketch the proof of this result.